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2008-04-11(Fri)

ドロップ率推定 理論解

前回記事 ドロップ率―確率から結果を求める―

2月9日の投稿記事,ドロップ論.
実際のところ前回の記事は所詮机上の空論,実際に役立てるのは至難の業である.
あれはあれで面白いのだが,中には満足していない人もいるはず.

天才は「だから数学は美しい・・・終了!」かもしれないが,JISは天才ではない.
「使いこなせない数学はいらない」というのが凡人JISの立場である.


今回から数章にわたってドロップ率推定論を展開する.これは前回とは逆のアプローチである.今日の内容は当然前回よりも難しい.しかしながらマスターすればメイプル以外でも役に立つ知識なので,できる人はぜひぜひがんばってほしい.

※逆に言うと今日の記事は難解なので,分からない人は飛ばしてくれい
 やっている内容自体が難しいので,微分積分の分からない人への解説は困難だ







A.基礎式

次式は前回の基礎式と同じものだが,これを理解できないと先に進めないので,
今回の講義はこの式を理解できることを最低条件とする.


ドロップ率 p のモンスターを n 体狩って m 個のドロップが得られる確率f
f ( p , m , n ) = nCm p
m

( 1 - p )
n - m



補足 順列公式






B.ドロップ率逆算式

上の式で,前回は p を既知とし, n と m の関数として考察を行ったが,今回求めたいのは p .
であるので,今回は n と m を既知とし, p の関数として考察を行う.

モンスターを n 体狩って m 個のドロップが得られたとき,
そのモンスターのドロップ率が p である確率f
f ( p ) = nCm p
m

( 1 - p )
n - m




おお,出た,めでたしめでたし!

と言いたいところなのだが,残念ながら違う.
Aの式は m についての離散関数であり,f そのものが確率であった.

Bの式は p は連続的な値を持っており,ドロップ率をピンポイントで p と断定できる確率は0である.
確率は f を p で積分しないと得られない.すなわち f は確率密度関数なのである.






C.確率密度関数

モンスターを n 体狩って m 個のドロップが得られたとき,
そのモンスターのドロップ率が p である確率密度関数 q

q ( p ) = f ( p ) / ∫
1
0
f ( p ) dp


分母は f を全ての p で積分したものである.
この操作を加えることで,q を p について0%~100%まで積分すると,総確率が1になる.


ちなみに分母を計算すると,細かい計算は省略するが,

1
0
f ( p ) dp = nCm
1
0
p
m

( 1 - p )
n - m

dp = 1 / ( n + 1 )

補足 微分公式積の積分,置換積分

おもしろいことに,f を p で全区間積分すると, m に関係なく,f = 1/ ( n + 1 )となる.



再掲 確率密度関数 q
q ( p ) = ( n + 1 ) f ( p )
q ( p ) = nCm ( n + 1 ) p
m

( 1 - p )
n - m









D.ドロップ率の積分定義


確率密度関数を q ( p ) とする
ドロップ率が 区間[ p1 , p2 ] にある確率 Q( p1 , p2 ) は

Q ( p 1 , p 2 ) ≡ ∫
p2
p1
q ( p ) dp









定積分D式はドロップ率の理論解である.

D式の時点で,既に数値的にドロップ率を計算することができる.
ドロップ計算式導出過程において,D式がもっとも抽象度の高い式である.
今後はそれをどんどん簡略化していく過程に入る

キリがいいので本日はここで終了.









カテゴリー タイトル 投稿日
ドロップ率考察 次回ドロップ率推定 その2 2008年6月12日
前回ドロップ率のおもしろい話 2008年2月9日
全職スキル振り ― 総目次


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