--------(--)

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
2008-06-12(Thu)

ドロップ率を求める その2

初回記事 ドロップ率―確率から結果を求める―
前回記事 ドロップ率を求める その1



§1 復習

モンスターをn体狩ってドロップがm個あった時,
そのドロップ率が p1以上p2未満である確率 Q( p1 , p2 ) は

Q ( p 1 , p 2 ) ≡ ∫
p2
p1
q ( p ) dp
q ( p ) = nCm ( n + 1 ) p
m

( 1 - p )
n - m



なかなか投稿のタイミングが悪く,3ヵ月越しの続編
とりあえず今回はこの式からスタート






§2 展開

Q ( p , 1 ) ≡ ∫
1
p
nCm ( n + 1 ) p
m

( 1 - p )
n - m

dp
Q ( p , 1 )nCm ( n + 1 ) ∫
p'
0'
( 1 - p' )
m

p '
n - m

dp'
)nCm ( n + 1 )
, p
m
k=0
(-1)
k

{ mCk'
( 1 - p )
n - m + k + 1

/ ( n - m + k + 1 ) }



ここまでが厳密解
[ p1 , p2 ]の確率は,[ p1 ,1 ]の確率から[ p2 , 1 ] の確率を引いたものである
区間を分解することで積分を簡略化できる


ちなみに2項分布は n が無限大の極限でポワソン分布になる
直感的にはポワソン分布に近似してから積分すれば楽になるような気がするが,
実際にやってみるとうまく積分できない

本当に積分できないのかどうかはよくわからなかったが,無限大を使って近似しているため,
微少量を扱う積分との相性が悪いのかも知れない




補足 ポワソン分布

二項分布は n を無限大にした極限ではポワソン分布を取る
P ( λ / n ) = nCm ( λ / n )
m

( 1 - λ / n )
n - m

q ( λ / n ) ~ λ
m

e

/ m !







§3 具体的な式
§2で解は出したのだが,なんのこっちゃな人が多いと思うので,
mが小さい,すなわちドロップ数が少ない時点での具体的な式を示しておく




m = 0
モンスターをn体狩ってもドロップがでなかった!
ドロップ率が p 以下である確率 Q( 0 , p ) は?


0体

Q ( 0 , p ) = 1 - ( 1 - p )
n + 1




当然狩った数 n に応じてグラフは変化するが,おおよそ30体以上狩ればほとんどグラフは重なる
n 体狩ってドロップしなければ,ドロップ率が 1 / n 以下である確率は63%



m = 1
モンスターをn体狩ったらドロップが1個出た!
ドロップ率が p 以下である確率 Q( 0 , p ) は


1体


Q ( 0 , p ) = 1 - ( n + 1 ) ( 1 - p )
n

+ n ( 1 - p )
n + 1


こちらも数十体狩ればグラフは収束
n 体狩ってドロップが1個なら,
  ドロップ率が 1 / n 以下である確率は27%
  ドロップ率が 2 / n 以下である確率は60%
  ドロップ率が 3 / n 以下である確率は80%



m = 2

モンスターをn体狩っている間にドロップが2個出た!
ドロップ率が p 以下である確率 Q( 0 , p ) は


2体


Q ( 0 , p ) = 1 - n ( n + 1 ) ( n - 1 ) {
( 1 - p )
n - 1

/ ( n - 1 )
- 2 ( 1 - p )
n

/ n + ( 1 - p )
n + 1

/ ( n + 1 ) }

n 体狩ってドロップが2個なら,
  ドロップ率が m / n 以下である確率は32%
  ドロップ率が 2 m / n 以下である確率は76%
  ドロップ率が 3 m / n 以下である確率は94%



たくさん狩ったぞ
キリがないのでこの辺で切っておく
今日の最後は,最終的に拾ったドロップの数からドロップ率を逆推定
但し,n は十分大きく取る


たくさん


当然,拾ったドロップの数が多くなるほど予測精度はよくなる

ドロップ逆算式はわけがあって,完全に簡略化し切れない.そのため,m を大きくできない
もっとも,レアドロップのドロップ率を推定するのが目的なので,元々mは大きく取らないことを想定している



なぜ m = 5 まで計算したかと言えば,もちろんモンスターカードのドロップ率推定用
それ以上の数を要求されるレアドロップはなかなか常識的な時間内にはそろえられない
来月以降に,今日の式を使ったいろいろな実用例を示す予定










カテゴリー タイトル 投稿日
ドロップ率考察 次回 ドロップ率推定 結論 2008年10月6日
前回ドロップ率推定 理論解 2008年4月11日
全職スキル振り ― 総目次



comment form

管理者にだけメッセージを送る

comment

No title

これって高校何年で覚える計算式なんですか?中2の自分にはまったくわかりません;;

No title

数式をTeX等で組版しないのでしょうか?
若干見づらいです。

No title

画像を増やしたくないというのが一番の理由です
TeX数式を画像にして自サイトか何かに転用したいという趣旨での発言ならば対応します
ただ,単に見づらいという理由であれば,さほど理解が困難な数式でもないですし,
今回は打ち直しを見送らせてもらいます
カウンター
カレンダー
09 | 2017/10 | 11
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -
最近の記事
最近のコメント
目次

全ての記事を表示する

月別アーカイブ
新着サイト
ブログ内検索
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。