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2008-09-20(Sat)

ダメージ安定性 補足

4次僕シリーズ企画ダメージ安定性評価

あれっていったいどういう風に計算しているのか,という質問を受けたので,
この記事を通して一通り解説する

ただし,今日の記事に関してはJISの脳内宇宙のような話なので,むちゃくちゃ難しい
『もしこういうことを考えるときはこういう考え方もあるのだ』という発想のヒントにしてくれればいい

あと分からない人は絶対分からないので,知る必要がない場合は深く考えずに流してしまってほしい






基本的なグラフの書き方

パワーストライクダメージ
パワーストライク
X1:最低ダメージ
X2:最高ダメージ
:確率密度

満たすべき条件・性質
-∞
Y dx ≡ 1
(面積が1ってことです)

※パワーストライクの場合
∫Y dx = Y ( X2 - X1 )


要は四角形の面積が1になるようにYを決めてあるということ
そうすると,全確率を足し合わせたときに1になる
・ 横軸の単位・次元は何でもよい
  (最大ダメージ,スキル%,実際のダメージ etc...)

・ X軸はマイナスの値をとってもよい
  従って,平均ダメージを0とするのもあり

・ Y軸は確率なので必ずプラスの値をとる





パワーストライクと言いつつ,数字が一つも入ってないのがポイント
つまり,必ずしもパワーストライクだけでなく,通常攻撃やファイアアロー,
プログレス,たこ焼き,メイプルヒーローなどなどのあるなしに関わらず,
確率一定の攻撃には全て使える



もちろん条件さえ満たせばメイポ以外にも使える










並列ダメージ

単発スキルのうち,確率によってダメージが変わるもの
クリティカルダメージ,斧・鈍器など不安的武器のダメージがこれに当る

アローブローダメージ
クリティカル
Xa1:通常最低ダメージ
Xa2:通常最高ダメージ
Ya:通常時確率密度
Xb1:クリティカル最低ダメージ
Xb2:クリティカル最高ダメージ
Yb:クリティカル時確率密度
Yc:重ね合わせ確率密度 = Ya + Yb

満たすべき条件・性質
-∞
Ya dx ≡ 0.6
(非クリティカル確率,青四角の面積)
-∞
Yb dx ≡ 0.4
(クリティカル確率,緑四角の面積)

-∞
Yc dx =
-∞
Ya dx +
-∞
Yb dx = 1


要はそれぞれの四角の面積がクリティカル発生率・非発生率に相当し,
それら全てを足し合わせると100%になる
いきなり最後の赤い四角を書こうとすると頭が混乱する
ちゃんと順序立てて,個々の状況の確率から順番に求め,最後に足し合わせる




条件は,同時には発生しない2種類以上のダメージ

先ほどと同様,個々の状況の確率さえ確定していればどんな数字のダメージでもOK
さらには,メイポにはクリティカルは発動か非発動の2段しかないが,
ただの重ねあわせなので分岐が3段以上ある場合でも対応可能


並列ダメージは重ね合わせが可能







直列ダメージ

いくつものダメージが重なっている場合のダメージ
ここでは特にマジッククロー,バスターなど,等ダメージが重なっている場合について



マジッククロー・バスターダメージ
直列ダメージ



さいころを2個同時に振り,出た目を合計する
説明の便宜上,さいころは1~5の目しか出ず,6が出たらやり直しとする

合計が2のケースは(1,1)の1パターンしかない
合計が3のケースは(1,2)と(2,1)の2パターン
合計が4のケースは(1,3),(2,2),(3,1)の3パターン
・・・という風に1ずつ増えていき,最終的に中央の6のパターンは6つになる




マジッククロー

さいころの目は離散的だが,それをどんどん連続的にしていくときれいに三角形の分布になる
マジッククローダメージを幾何学的に表示するとこうだ

マジッククローダメージの幾何学的意味

正方形の対角線に垂直な直線の長さ
正方形の辺の長さは単発ダメージに相当する





では3段攻撃のバスターは?

バスターはさいころ三つだ
先ほどと同様,6は出ないとする

3が出るパターンは(1,1,1)・・・1パターン
4が出るパターンは(1,1,2),(1,2,1),(1,2,1)・・・3パターン
5が出るパターンは(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2)~~~・・・6パターン
6が出るパターンは10パターン
7が出るパターンは15パターン
8が出るパターンは18パターン
9が出るパターンは19パターン

10が出るパターンは18パターン
11が出るパターンは15パターン
 ・
 ・
 ・

最初の方は等差数列のような感じだったのだが,8を境に挙動が不審になった
果たして法則性はあるのか?



バスターの箱

バスター切断


幾何学的に表示するとこんな感じだ

こんなの毎回できるか!とか思うかもしれないが,これはからくりがある
さいころは目が数えられるだけしかないが,ダメージはほぼ連続とみなせる
例えば等差数列であらわされる上の3~7の例では,

等差数列の和
等差数列



n→∞の極限においては,S = n ^ 2 / 2 と考えても差し支えない
ちなみに { n ^ 2 / 2 } が何かというと,底辺が n ,高さが n の三角形の面積である


変極点後(7~11)の計算式はあえて表示しないが,やはり同じく立方体の断面積になっている



直列ダメージ

先ほどのマジッククローとバスターのダメージを再表示する

マジッククローの最頻値は対角線の長さであった
バスターの最頻値は立方体の正六角断面である








じゃあサベッジスタブは?

多分誰もついてきていないと思うし,ついてくる必要もないのだが,
『もしいつか自分で考える必要が発生したときのために』
簡単に多段ダメージの一般系について述べる




直列ダメージ一般系
n個の単発ダメージ分布D1,D2,D3・・・Dnがある
それらをを足し合わせたダメージ分布Dsは


n次元空間X(X1,X2...Xn)に対し,各辺の長さがD1~Dnに相当するn次元直方体Dを原点がO,各辺が座標軸X1~Xnに一致するように配置する.
ダメージ多面体Dを,直線{ X1=X2=...=Xn }を法線とする( n-1 )次元空間で切断する.

ダメージ分布Dsは,そのときにできる( n-1 )次元断面体の容積である
なお,一般系においては,元になるダメージは必ずしも等しくある必要はない

特別なケース
一般系のうち,n個のダメージが全て等しいとき
それらをを足し合わせたダメージ分布Ds0は


各辺の長さがダメージに相当するn次元立方体を,対角軸を法線とする( n-1 )次元空間で切断する.

ダメージ分布Dsは,そのときにできる( n-1 )次元断面体の容積である






ヒントを言っておくと,一般系なので,先に挙げたマジッククローやバスターもちゃんと当てはまる


例)マジッククロー
各辺の長さがダメージに相当する正方形(=2次元立方体)を,対角線に垂直な直線(=一次元空間)で切断する.ダメージ分布Dsは,そのときにできる切断線の長さ(=1次元断面体の容積)である


こう書くとそれなりに分かりやすいだろう
バスターの例はあえて書かない




さて,サベジスタブは?

サベジ

各辺の長さがダメージに相当する6次元(超)立方体を,最長の対角線を法線とする5次元空間で切断する.

ダメージ分布Dsは,そのときにできる5次元断面体の容積である


ちなみに,これがどういうことなのかというのを紙に書くことは事実上無理だ
かろうじて書けるのは4次元立体までである
(それですら視覚的に理解できる形でかける図形はかなり限られている)


6次元(超)立方体とは
・ 頂点が64個
・ 辺が192個
・ 面が240個
・ 立方体が160個
・ 4次元超立方体(正8胞体)が80個
・ 5次元超立方体が12個

絶対に,無理です








終わりに

長々と書いてきたが,ダメージ安定性のグラフは,
n次元計算とその重ね合わせで全てが説明できる

もちろんJISとてバカ正直にそんなことはやっていない
ちゃんとn次元を展開してExcelにて計算させている
でも,思考の源流にそういうのがあることで出したグラフの正確さに確信が持てるわけだ


シーフ編 サベジを二回撃ったり,サベジとダブルスタブを足し合わせるとどうなるか
弓使い編 ストレイフにクリティカルが乗ったらどうなるか

一見どこから手をつければいいのか考え込むこれらの問題も,
整理すれば二つの原理しか使ってないのである





おしまい

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comment

まったくわからないですね!

PS.パソコンが壊れて数日間INできないかもしれません(;_;)

No title

一応理系の大学生としては理解できますし知っている理論で構築されていますが、サベジは無理!
六次元とか理解不可能。
私の脳内宇宙は三次元世界が限界のようです。
理論自体は知っていてもこうやって活用するのは厳しいですね。ゲームにまで数式入れたくないです。
まぁ、つまり、JISさんありがとう&お疲れ様です。

No title

フッ 俺の知能を持ってすれば 

こんな理論 サッパリわからないんだZE!

No title

幾何学的解釈はおもしろいですね~。
噛み砕くのに時間かかりそうだけど参考になります。

別解というかこちらが確率論的な方法だと思うのですが
2つの確率変数の和(差)の確率分布はその畳み込みで表されます。
中心極限定理によるとサベジの形がガウス分布に近くなってますね。

ところで仮定として妥当とは思うのですが単発攻撃は一様分布って誰か検証してるんですかね。
計算量や実装的に一様だとは思うのですが。

No title

もともとわかりにくいことを、さらに分かりにくくしているような気がします・・・
n次元直方体・・・イメージじゃ無理ですね;

そもそも「確率密度」自体高校でも習いませんからね。グラフの縦軸の数字にどんな意味があるのか、まずわからない人が多いと思います。

No title

>細裂きさん
まあ,『知ってる』と『使える』はまた違いますからね
『使える』段階に入ると,それほど意識しなくてもよかったりします
例えるなら,買い物しているときに『算数やってる』なんていちいち考えないのと同じです



>ぴー
おめでとう



>psさん
というか,実際に私がExcelに計算している方法も,事実上の畳み込みを利用した数値積分です
ただ,私は確率論を本格的に勉強したわけではないので,確率的解釈が得意ではないので,
『どちらかといえば得意な幾何学に置き換えた』というのが正確なところです

幾何学は頭でイメージできますからね,本質の確認にはもってこいです



>九里さん
うーん,そもそもブログではグラフで視覚的に判るように置き換えているので数学ができなくても分かった気になるんですが,本来確率密度は微積分が理解できないと本質が判らないものです.

確率密度を中学生に記事一つで教えるのは無理です
微積分にせよ,確率にせよ,学校で数年かけて習うもの
そんなことができるなら学校がいらない

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