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2008-02-09(Sat)

ドロップ率のおもしろい話

今回は確率の上からドロップ率を考える講義.とはいえ,サーバー内のドロップ率を分かっているわけではないので,『そういうものなのだな』程度の理解でよい.

じゃあなんでそんなものを作るのか
普段の何気ない直感に実は根拠があるのだということが分かるだけでも楽しいからだ.






A.基礎式
B.高ドロップ率乱獲近似
C.レアドロップ乱獲近似 ―運を吸い取られた―
D.レアドロップ少数狩り ―篭れば篭るほど出ない―
 






A.基礎式

※この項は難しいし,実用的ではないので,分からない人は飛ばしてよい.


ドロップ率pでアイテムを落とすモンスターを,m体狩ってドロップをk個得る




ドロップ率q
q = C ・ pk (1-p)(m-k)
mk
        
                            ・・・①

二項分布


いわゆる二項分布.

ちなみに二項分布の期待値μと分散σ^2は

μ = mp            ・・・②
σ^2 = mp(1 - p)     ・・・③


今日の講義は①~③式を元に始まる.







B.―乱獲近似―

条件
・狩るモンスターの数が,ドロップ率に対して十分大きい
・ドロップ数が十分稼げる時間狩る



あらゆる確率分布は試行回数を無限に増やせば正規分布になる

いわゆる中心極限定理.ちなみに正規分布に近似できると何がよいかというと,平均値μと標準偏差σが判れば分布が予測できること.

70%の確率でμ-σ≦k≦μ+σの範囲内にkが入る.
95%の確率でμ-2σ≦k≦μ+2σの範囲内にkが入る.




シチュエーション例
・木の枝が100本ほしい


スタンプを100匹狩るとしよう.木の枝のドロップ率を50%とすると,②,③より,

μ=100×50%=50
σ^2=100×50%×50%=25

ここからμ=50,σ=5が得られるので,以下の推測ができる.


スタンプ100匹狩れば,95%の確率で40~60本木の枝が集まる







C―レアドロップ近似―

条件
・ドロップ率が狩るモンスター数に対して近いオーダー,もしくはそれ以下である




どの式を近似するかというと,①式である.ドロップ率が小さくて,どうせ一個以下しか出ないので,100%からk=0の確率を引けば簡略化できる.

ドロップ率q’
q' = 1- C ・ (1-p)m
m0
= 1-(1-p) 1/p・pm
 
1-exp(-mp)
 
                             ・・・④

※exp(x)=e ^ x   {e=2.718・・・:自然対数の底,ネピアの数}

レアドロップ



ここの式のミソは最後に出てくるネピアの数.高等数学をやれば,微積分のおそらく初歩で出てくるだろうこの数字,『そんなものどこで使うんだよ』と思っていた人も多いだろうと思うが,微積分を容易にできるようになるというメリットがある.

ちなみにmp積が1,つまり『ドロップ率が1/NのモンスターをN体狩った』時にドロップする確率は62%.あれ?と思うだろう.N体狩っても40%近い確率でノードロップなら,1/Nって一体何を表してるのか?

五人

平均一本出したようだけど,3人しか出してないじゃん!

統計の導く非情な結論.実は,ドロップした62%の勝ち組の中には2個目,3個目をドロップした人がいて,それを足し合わせると100%になるのだ.もし君がノードロップで,一緒に狩っていた友が2個ドロップしていたなら,そいつは殴ってよい.『○○にドロップ運を吸い取られた』というのは往々にありうることなのだ.





ちなみに,JISのギルドBlackBerryは,ギルド員のレアドロップ運が異常なまでにいいために,JISは非常にドロップでひもじい思いをしている.そろそろドロップ運のいいメンバーの追放を検討している.



シチュエーション例
・ブレイブパイレーツを狩っても狩っても雷手裏剣が出ない.


実際のドロップ率はよく分からないが,仮にドロップ率を1/2000(0.05%)としよう.④式より,1000体狩ってドロップする確率は

q = 1 - exp ( -1000 / 2000 ) = 39 %

Windowsなら,付属の関数電卓やexcelなどで計算できる.








D.―レアドロップ少数狩り―


条件
・ドロップ率が十分小さい
・狩るモンスター数がドロップ率に対して十分小さい




④式をmpで割ってみる.

q/mp = { 1 - exp( -mp )} / mp

ここでmp→0の極限をとってみると,0/0の不定形になるので,ロピタルの定理により分母と分子を(mp)で微分する.

q / mp = exp( -mp )→1   (mp→0)

∴q = mp

            ・・・⑤


ここでは指数関数の微分が容易であるという性質を利用した.他にもテーラー展開を使う方法など,導出の方法はいくつかあるが,結果は同じである.ちなみに⑤が何を意味しているかというと,図2でmpが0に近いところではグラフが直線に近似(線形化)できるということを示している.



シチュエーション例
・ライカンスロープを5体狩ったら日の手裏剣が出た.


仮にドロップ率を1/1000(0.1%)としよう.④式より,5体狩ってドロップする確率は

q = 5×0.1 % = 0.5 %


ここで長々説明してきたが,直感的にこれは理解できるだろう.

A. 確率1%なら,2回やれば2%!
B. 確率30%なら,2回やれば60%!


Aはおおよそ間違いではないが,Bは間違いである.Aがあっているという根拠は⑤式であり,⑤式がBに適用できない理由は,{30%×2回}が100%に対して大きすぎるので,⑤式の適用条件を満たしていないためである.Bは約50%になる.



篭るより通りす狩りのほうがドロップ率が高い

一匹辺り狩るのに1分かかるとしたら,通りす狩りのドロップ率は⑤式より
0.1 %/ 1分 = 0.1 %/分

3時間狩るとしたら,篭り狩りのドロップ率は④式より
{1-exp (180/1000)}/180分 = 0.091 %/分


なんでこんなことが起こるのか.実はからくりは先ほどと同じ.



篭り狩りでは何も出ない確率が高くなる代わりに,
複数個ドロップするかもしれない夢がある.



最終的には先ほどと同様,篭り狩りのドロップ率は通りす狩りの6割程度になる.

1個目がドロップしなければ2個目がドロップすることもない.
やっぱり通りす狩りのほうが出やすい?






カテゴリー タイトル 投稿日
ドロップ率考察 次回 ドロップ率推定 理論解 2008年4月11日
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comment

あー 論点がズレていく・・・・

・・・・・・・・・・・・

予定表にドロップ率って書いてたから期待してたが・・・・・

期待以上に数学的な分析で吹いたw

計算式はよく分かりませんが (コレ言ったら9割方意味がなくなるw

確立が 1/400なら 400回叩けば出るって話ではなく

毎回1/400の確立で 叩いてるため

純粋な確立だと 1/400に設定していても

実際は 1×95%/400って事ですか??

あかn・・・・結局分かりにくくなってきた・・・・w


私的結論:最終的に 出るまでやったら おkだ!

不運も幸運もひっくるめたら そのうち 100%に近い数字になるはず!

 以上 月紫煙式 スロの定理でした

No title

>ぴー
計算式は分かる人だけ分かればよい.
分からない人でも読めるように,肝心なところは全部拡大文字にしたから,
でかい文字だけ飛ばし読みでも要点はつかめる.

あくまで一般人が持っていると思う直感に数式の裏づけを示しただけだから,
結論自体は多分すんなり受け入れられると思う.


1/400の確率の場合,実際400回たたいて出る確率は62%.
運がいい場合はその400回の中で更に2個,3個目が出たりするわけだ.

逆に400回たたいても4割はスカ.
大当たりかはずれか.ピーの大好きなギャンブルやね.

ということだ.『でないから当たるまでやる』と言っている時点でほぼ負け決定.
今の400回で負けたなら,次の400回で負ける可能性も同じく40%
『勝つ』というのは,1個先取りした上で2個3個狙う状況のことなのだ.

No title

にゅー・・・・・・・・

確立の6割の減っていく式が想像もつかないorz

んでも 計算上6割ぐらいになるのか・・・・・

って事は実質 1/666って事になるのか・・・・?

意外と数学苦手な俺に気付くw

ちなみに スロなら 一回目が当たるまでやる なんて そんな理論ではやりませんょーw

(超直感的に 当たりそう か 当たらなさそう って判断だけでやってますw

(更に補足 なおさら負けそうな理論

No title

おお待ってました!ドロップに関する記事を・・(´∀`)
・・・・数学?計算式よくわからないです。

昔12時間 黒モココの森に篭って雷シュリ狙ったけど
雷どころか装備も殆ど出なかった経験が(`;ω;´)

SDTだけで雷落とす人もいるのに何故・・って
思ったけど、狩れば狩るほど確率が落ちるから
篭狩りは良くないんですね・・なるほど。

結局いつも自分は『役立たず,ε(ーДーε)』の
ポジションに・・・。+゚(゚´Д`゚)゚+。負け組

ちなみに今は各chを回って敵モンスターから高確率で
ETC,メルがセットでドロップするchで狩ってます(´∀`)

まぁ殆ど勘なんですけどねw運が良い時はそれなりに

あれ?

俺もこの記事は特に楽しみにしていました。
てっきりドロップの記事だからめいぷるネタ職実践中さんみたいに何万体も狩るのかなー、
と思っていたら違ったっすね・・・

俺は今高3受験真っ最中なんですが
分散とか勉強以外に使っている人初めてみました・・・・。
やっぱり学校の勉強って受験以外にも使える、って改めて感じました。。
JISさんは大学で統計でもやっていたんですか?

あと1つ疑問に思ったので質問。
通りながらのほうが確率は高いですが、
何往復となると全体的に見ると籠もりっ放しと変わらないのでは?
そうすると結局手にはいる確率は下がる・・・・と思うんですが。
どうですかね?

No title

予想外に受けてるのかな,この記事
こういう記事のほうがいいんだろうか
・・・さすがにこのボリュームの記事を月20は無理だが


>ぴー
実質1/666じゃなくて,仮に何億回やろうと永遠に100%にはならない(笑)

ところで,そのぴーのいう『超直感的に 当りそう か 当らなさそう』というやつも
もしかしたら単なるヤマ勘ではなくて数学的に何か根拠があるのかもしれないね.



>まう坊
お待ちかね・・?ドロップ率の記事.
書いてあることは,そこまで難しいことではなくて,
例えば二項分布なんかは,統計を勉強すれば必ず出てくる基本的な分布だ.


篭り狩りがよくない・・・というのはちょっと結論が早過ぎで,
逆に篭ってたくさん出す人もいる.
その二つで何が違うかと言うと,実は何も違わない.

違うのは結果のみ.
『10人で10個ドロップしたら,ドロップはそのうち6人で山分けされてしまう』
ということ.


ちなみに,各ch回って高確率でETCがドロップするchで狩る・・・
・・・というのは,仮に『当りch』が存在するとしても,
今はまだ『通りす狩り』の段階だから出るのであって,
それをずっと続けていくと,そういう『当りch』に当たる確率も下がってくる.

・・・言ってることが難しいけど,それが統計だ.


余談なんだが,毎日拡声器で叫ばれてる『ガチャの当りch』って,本当に存在するん?
あれこそがガセネタの気がしてならないんだが・・・
・・・ガチャやらないから検証する気もないけど



>てんつくさん
ネタ職さんみたいな,実験的アプローチも必要ですが,
そういう実験を行うときに気をつけないといけないのが
『そのデータが妥当であると言うことをどうやって検証するのか』

例えば確率1割のチエル交換当りくじが50回連続で外れる確率は?
・・・となったとき,『1割』という前提を否定するにはやはり理論的な考察はいります.



数学を何のために勉強するのか?けっして受験のためではないんです.
少なくとも高校までで習っている数学には全て物理現象に応用可能な意味があります.

JISは統計の専門家ではないです.でも『数学は道具だ』とはよく言われます.

使いこなせないと意味がないんですね.
だからJISも専門家じゃないですが授業で習った数学ぐらいは使います.


ところで,この記事,わざわざ関連性が低いのを承知で数学の講義にした狙いは
まさに今そうやって勉強している小中高校生だったりします.
『メイポをやって4次僕に来て,数学を習う意味を考えてもらう』
ブロガー冥利につきますな.


で,疑問点に答えると,それもてんつくさんの直感通りです.
『通りす狩りを繰り返せば最終的には篭ったのと同じ』

仮に通りす狩りを1回やる間にドロップする確率を1/100として,
通りす狩りを100回やったとすると,やっぱりその100回以内にドロップする確率は62%になるんですね.
でも通りす狩り1回1回を見てみると確率は1/100のままです.

結局何がどうなっているかと言えば,
『スタートした瞬間はみんな平等だけど,それを繰り返していくとだんだんばらつきがでてくる』
ということ.



ちなみに確率10%のチエル交換が50連続で外れる確率は0.52%,
成功率1%だという仮説を立てると50連敗する確率は60.5%まで上がります.
単にネタ職さんの実験回数が足りなかっただけ,の可能性はまだ一応残されているわけです.

参考記事 メイプルネタ職実践中
『三度目の正直?二度あることは三度ある?60%を目指して1%?の戦い』
http://app.blog.livedoor.jp/maplenetastory/tb.cgi/50934841

No title

統計・・・二項分布・・・
もっと勉強しなきゃダメですね(;´∀`)

ガチャは7chでやるのが一般的だそうです。
過去に何回か叫びましたが、皆『7chがいい』と返信
されます・・・。どうやらガチャの当りchは固定?されているみたいです。

色んなchでガシャ回してみましたが、今のところ茶軍手
,桃マント,高級書が一番出たのは7chでしたね・・。
運もあると思うけど・・・w

No title

>まう坊
ガチャ伝説の一番謎なところは,『Ochがもっともいいものが出る』という統計を誰が取ったのかというところ.誰が何回回したか分からないのに,出たものの絶対数で評価したって意味ないだろう.

『1chから1個,7chから5個茶軍手が出た』としても,『1chは人気がないから10人しかやらなくて,7chは人気だから50人やった』とかいう可能性が高いし,全く統計に信頼性がないのだ.


ということだ,俺はガチャ伝説の根拠のデータの出所が知りたいわけさ.

No title

まぁ 数式は読み飛ばしつつ。
読みたくてもよく分からないので今度噛み砕いて教えてね

ドロップなんて、出るときは出る・出ないときは出ないのよ・・・と
感性ッ子のまま生きてゆきます。まる。



んでガシャポンについては こんなページがあるよ。
http://maplematome.wikiwiki.jp/?%BE%F0%CA%F3%2F%C5%D4%BB%D4%C5%C1%C0%E2

要は都市伝説らしい?w

No title

>しろ
まあ,しろの言ってる通り.
ここで言ってるのは,『ある結果があったときにそれをよく見るとどうなっているか』を示しただけで,『じゃあいい結果を出すにはどうすればいいのか』というのは操作することは無理.それが確率というもんだから.

都市伝説,なかなかおもしろかった.
まあ,俺も防御書売り払って儲けている側だから偉そうなことは言えんけどね,お客さんお客さん,へへへへへ.

No title

,.使うあたり理系さんですね。
一つだけ、、中心極限定理の解釈が違います。
二項分布のmを増やせば正規分布に近づきますが。
せっかく数学に興味を持っていただける機会ですし専門用語の羅列ではなくもっと噛み砕いた表現を多用してはいかがでしょうか?
直感の補強あるいは反証として面白い分析でした。
ちょくちょくみたいと思います。

No title

というと,nとmを増やせばいいということしょうか?
実を言うと,確率論は習っていないどころか独学なので,解釈が正確でない可能性は否定できんのです.

見かけによらず大雑把なので,
(持ち出してきた定理が合ってる)+(答えが合ってる)→(過程もあってるに違いない)

・・・程度の理解しかなかったりして



専門用語を羅列した目的はむしろ逆で,ターゲットから理解できない人を切るためです.

全員が理解できる数学レベルで書くと,使えて中学校レベルまでです.
でも私は数学考察には微分や積分をバンバン使う予定です,必要ですから.
それでもって,一般に微積を中学レベルの数学知識しかない人に噛み砕くことは不可能です.


(分からない人)
どれだけ噛み砕こうと分からないし,面倒だから説明はどうせ読まない
必要なのは小難しい証明ではなくて,結論のみ.

→彼らに必要なのはワンフレーズで覚えられるインパクトの強い結論
 逆に専門用語で思考回路をショートさせた方が,諦めがつく


(分かる人)
噛み砕かれれば噛み砕かれるだけ,逆にまどろっこしくなる
長々しい説明は要らない,説明は簡潔にしてほしい

→専門用語の活用が有効


専門用語にはいいところがあって,その短い用語一言に深いバックグラウンドがあり,
それが理解の補助をしてくれるところです.




今回の内容は微分を理解していない人が見ても,残念ながら本当の意味でのおもしろさは伝わっていないでしょう.
一日で理解できるレベルなら,高校・大学で数学を教わる必要がないですから,
どれだけ噛み砕こうと,それだけの差は埋まらないんです.

今まで見てきた考察サイトで残念なのは,まさに中学レベルの数学で完結させようとしているところ.
高校以上の数学が中学レベルの数学で代用できないことは,
詰め込みの高校生はともかくも,少なくとも大学以上の数学教育を受けた人は理解していないといけないはずなのに.



というわけで,数学啓蒙活動を兼ねて,今後も”簡潔な”数学を積極的に使っていく予定です.
実際,攻撃力計算とかは,微分を使えれば理解が一発ですから.

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